Trong không gian toán học, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ đóng vai trò nền tảng quan trọng, giúp chúng ta biểu diễn và tính toán các đại lượng vectơ một cách chính xác. Bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu về cách biểu diễn các phép toán vectơ qua tọa độ, từ lý thuyết cơ bản đến ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực.
Cơ sở lý thuyết về vectơ và tọa độ
Khái niệm vectơ và biểu diễn tọa độ
Vectơ là đại lượng được xác định bởi cả độ lớn và hướng. Trong không gian ba chiều, một vectơ có thể được biểu diễn bằng ba thành phần tọa độ theo các trục x, y và z. Nếu gọi vecto a có điểm đầu A(x₁, y₁, z₁) và điểm cuối B(x₂, y₂, z₂), thì tọa độ của vecto a được xác định là:
a = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) = (ax, ay, az)
Trong không gian hai chiều, chúng ta chỉ cần hai thành phần tọa độ (x, y). Việc biểu diễn vectơ bằng tọa độ giúp chúng ta thực hiện các phép toán vectơ một cách đơn giản và hiệu quả thông qua các phép tính đại số.
Các loại vecto đơn vị và hệ tọa độ
Vecto đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Trong hệ tọa độ Descartes ba chiều, chúng ta có ba vectơ đơn vị cơ bản:
- i = (1, 0, 0): vecto đơn vị theo trục x
- j = (0, 1, 0): vecto đơn vị theo trục y
- k = (0, 0, 1): vecto đơn vị theo trục z
Mọi vectơ a = (ax, ay, az) đều có thể biểu diễn thông qua các vectơ đơn vị này:
a = axi + ayj + azk
Ngoài hệ tọa độ Descartes, còn có các hệ tọa độ khác như hệ tọa độ cực trong mặt phẳng hoặc hệ tọa độ trụ và cầu trong không gian ba chiều, mỗi hệ có những ưu điểm riêng khi giải quyết các bài toán cụ thể.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ cơ bản
Phép cộng và trừ vectơ
Phép cộng và trừ vectơ là những phép toán cơ bản nhất. Khi biểu diễn qua tọa độ, chúng trở nên đơn giản và trực quan.
Cho hai vectơ a = (ax, ay, az) và b = (bx, by, bz), ta có:
- Phép cộng: a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz)
- Phép trừ: a – b = (ax – bx, ay – by, az – bz)
Phép cộng vectơ tuân theo các tính chất giao hoán và kết hợp:
- Giao hoán: a + b = b + a
- Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
Về mặt hình học, phép cộng vectơ tuân theo quy tắc hình bình hành, trong khi phép trừ vectơ cho ta vecto nối từ điểm cuối của vecto trừ đến điểm cuối của vectơ bị trừ.
Phép nhân vectơ với số vô hướng
Khi nhân một vectơ với một số vô hướng k, ta nhân mỗi thành phần tọa độ của vecto đó với k:
ka = k(ax, ay, az) = (kax, kay, kaz)
Phép nhân vectơ với số vô hướng có các tính chất:
- 1a = a
- k(a + b) = ka + kb
- (k + m)a = ka + ma
- (km)a = k(ma)
Về mặt hình học, phép nhân vectơ với số vô hướng k làm thay đổi độ dài của vectơ theo hệ số |k| và đảo chiều vecto nếu k < 0.
Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng (hay còn gọi là tích trong) của hai vectơ a và b là một số vô hướng, được tính theo công thức:
a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos(θ)
Trong đó θ là góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng có các tính chất:
- Giao hoán: a·b = b·a
- Phân phối: a·(b + c) = a·b + a·c
- Kết hợp với phép nhân vô hướng: (ka)·b = k(a·b)
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
- Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = a·b/(|a|·|b|)
- Kiểm tra tính vuông góc: hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0
- Tính công cơ học: W = F·s, với F là lực và s là độ dịch chuyển
Tích có hướng (tích chéo) của hai vectơ
Tích có hướng (hay tích chéo) của hai vectơ a và b là một vecto c = a × b, được tính theo công thức:
a × b = (aybz – azby, azbx – axbz, axby – aybx)
Vecto kết quả c có các đặc điểm:
- Vuông góc với cả a và b
- Độ lớn |c| = |a|·|b|·sin(θ), bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b
- Hướng theo quy tắc bàn tay phải
Tích có hướng không có tính giao hoán, thay vào đó: a × b = -(b × a). Tuy nhiên, nó có tính phân phối đối với phép cộng và tính kết hợp với phép nhân vô hướng.
Ứng dụng của tích có hướng bao gồm:
- Tính diện tích hình bình hành hoặc tam giác
- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Tính mô-men lực trong vật lý: M = r × F
Ứng dụng của biểu thức tọa độ vectơ trong hình học
Phương trình đường thẳng và mặt phẳng
Biểu thức tọa độ vecto cho phép chúng ta biểu diễn các đối tượng hình học như đường thẳng và mặt phẳng một cách chính xác và thuận tiện.
Phương trình đường thẳng trong không gian:
Một đường thẳng đi qua điểm A(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương v = (a, b, c) có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số:
(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b, c), với t là tham số
Hoặc dưới dạng phương trình chính tắc:
(x – x₀)/a = (y – y₀)/b = (z – z₀)/c
Phương trình mặt phẳng trong không gian:
Một mặt phẳng đi qua điểm A(x₀, y₀, z₀) và có vectơ pháp tuyến n = (a, b, c) được biểu diễn bằng phương trình:
a(x – x₀) + b(y – y₀) + c(z – z₀) = 0
Hoặc dạng tổng quát: ax + by + cz + d = 0, với d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)
Tính khoảng cách và góc trong không gian
Biểu thức tọa độ vecto giúp chúng ta tính toán các đại lượng hình học như khoảng cách và góc một cách dễ dàng.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Nếu điểm P(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng đi qua điểm A với vectơ chỉ phương v, khoảng cách từ P đến đường thẳng là:
d = |PA × v|/|v|
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Nếu mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = 0 và điểm P(x₀, y₀, z₀), khoảng cách từ P đến mặt phẳng là:
d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²)
Góc giữa hai đường thẳng:
Nếu hai đường thẳng có vecto chỉ phương v₁ và v₂, góc giữa chúng là:
cos(θ) = |v₁·v₂|/(|v₁|·|v₂|)
Góc giữa hai mặt phẳng:
Nếu hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ và n₂, góc giữa chúng là:
cos(θ) = |n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|)
Xác định diện tích và thể tích
Biểu thức tọa độ vecto cung cấp các công cụ mạnh mẽ để tính diện tích và thể tích của các hình hình học.
Diện tích tam giác:
Nếu tam giác có ba đỉnh A, B và C, diện tích của nó có thể được tính bằng:
S = (1/2)|AB × AC|
Diện tích hình bình hành:
Nếu hình bình hành được tạo bởi hai vectơ a và b, diện tích của nó là:
S = |a × b|
Thể tích hình hộp chữ nhật:
Nếu hình hộp chữ nhật có ba cạnh là các vectơ a, b và c, thể tích của nó là:
V = |a·(b × c)|
Thể tích tứ diện:
Nếu tứ diện có bốn đỉnh A, B, C và D, thể tích của nó là:
V = (1/6)|(AB × AC)·AD|
