Bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất (GTLN GTNN) là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12. Việc nắm vững phương pháp giải các bài toán này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, mà còn phát triển tư duy logic và kỹ năng phân tích vấn đề. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết các dạng bài thường gặp và cung cấp phương pháp giải hiệu quả cho từng dạng.
Tổng quan về bài toán giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất
Bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất là một phần quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Đây là dạng bài yêu cầu học sinh xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định hoặc trên tập xác định của hàm.
Tầm quan trọng của bài toán GTLN GTNN
Bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất có vai trò đặc biệt quan trọng vì:
- Xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT và thi đại học
- Chiếm tỷ trọng điểm cao (thường từ 1-2 điểm) trong cấu trúc đề thi
- Giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm và phân tích hàm số
- Có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học
Kiến thức nền tảng cần nắm vững
Để giải thành công các bài toán GTLN GTNN, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
- Đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hợp, đạo hàm của hàm số lượng giác, logarit, mũ…
- Điều kiện cực trị của hàm số: Liên quan đến đạo hàm bậc nhất và bậc hai
- Cách xét dấu của biểu thức: Phương pháp nghiệm của đa thức, bảng xét dấu
- Tính chất của hàm số: Tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn
- Các phương pháp tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm, bất đẳng thức, phương pháp đại số
Các dạng bài toán GTLN GTNN thường gặp
Trong chương trình giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất lớp 12, có nhiều dạng bài khác nhau. Dưới đây là các dạng bài thường gặp nhất trong các đề thi:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng cho trước
Đây là dạng bài cơ bản nhất, yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng xác định.
Phương pháp giải:
- Tìm đạo hàm của hàm số
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại trong khoảng đang xét
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và các điểm đầu mút của khoảng
- So sánh các giá trị tìm được để xác định GTLN hoặc GTNN
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ – 3x² + 3 trên đoạn [-1, 3].
Lời giải:
- Tìm đạo hàm: f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2)
- Giải f'(x) = 0: x = 0 hoặc x = 2
- Tính giá trị hàm tại các điểm tới hạn và điểm đầu mút:
- f(-1) = (-1)³ – 3(-1)² + 3 = -1 – 3 + 3 = -1
- f(0) = 0³ – 3(0)² + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
- f(2) = 2³ – 3(2)² + 3 = 8 – 12 + 3 = -1
- f(3) = 3³ – 3(3)² + 3 = 27 – 27 + 3 = 3
- So sánh: GTLN = 3 (tại x = 0 hoặc x = 3), GTNN = -1 (tại x = -1 hoặc x = 2)
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa tham số
Dạng bài này yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức chứa tham số, thường là các biểu thức đại số.
Phương pháp giải:
- Xác định tập xác định của biểu thức
- Đặt hàm số f(t) biểu diễn biểu thức cần tìm GTLN/GTNN
- Tìm đạo hàm f'(t) và xác định các điểm tới hạn
- Phân tích dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số
- Kết luận về GTLN/GTNN của biểu thức
Ví dụ: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b² + c².
Lời giải:
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (a² + b² + c²)(1² + 1² + 1²) ≥ (a + b + c)²
- Suy ra: 3(a² + b² + c²) ≥ 1²
- Do đó: a² + b² + c² ≥ 1/3
- Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3
- Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1/3, đạt được khi a = b = c = 1/3
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số có điều kiện phụ
Dạng này yêu cầu tìm GTLN/GTNN của hàm số khi các biến phải thỏa mãn một số điều kiện phụ.
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange nếu có ràng buộc dạng phương trình
- Biến đổi bài toán thành dạng không có ràng buộc bằng cách thay biến
- Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản (Cauchy-Schwarz, AM-GM…)
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = xy trên đường tròn x² + y² = 1.
Lời giải:
- Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange với hàm Lagrange: L(x,y,λ) = xy – λ(x² + y² – 1)
- Tính các đạo hàm riêng và giải hệ phương trình:
- ∂L/∂x = y – 2λx = 0
- ∂L/∂y = x – 2λy = 0
- ∂L/∂λ = x² + y² – 1 = 0
- Từ hai phương trình đầu: y = 2λx và x = 2λy
- Suy ra: x² = 4λ²y² và y² = 4λ²x²
- Do đó: x² = 4λ²y² = 4λ²(4λ²x²) = 16λ⁴x²
- Vì x ≠ 0 (nếu không thì f(x,y) = 0 không phải GTLN), nên 1 = 16λ⁴
- Suy ra: λ² = ±1/4, chọn λ = 1/2 (vì cần GTLN)
- Thay vào: x = y hoặc x = -y, kết hợp với x² + y² = 1
- Được: x = y = 1/√2 hoặc x = -y = 1/√2
- Tính f(x,y): f(1/√2, 1/√2) = 1/2, f(1/√2, -1/√2) = -1/2
- Vậy GTLN của f(x,y) là 1/2, đạt được tại (1/√2, 1/√2) và (-1/√2, -1/√2)
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Dạng bài này yêu cầu tìm GTLN/GTNN của các hàm số lượng giác hoặc biểu thức chứa các hàm lượng giác.
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi biểu thức
- Áp dụng tính chất tuần hoàn, chẵn lẻ của hàm lượng giác
- Sử dụng các giới hạn cơ bản của hàm lượng giác (như -1 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ cos x ≤ 1)
- Tìm đạo hàm và xác định các điểm cực trị
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2sin x + sin 2x trên đoạn [0, π].
Lời giải:
- Biến đổi: f(x) = 2sin x + sin 2x = 2sin x + 2sin x.cos x = 2sin x(1 + cos x)
- Tìm đạo hàm: f'(x) = 2cos x(1 + cos x) + 2sin x(-sin x) = 2cos x(1 + cos x) – 2sin²x
- Biến đổi: f'(x) = 2cos x(1 + cos x) – 2(1 – cos²x) = 2cos x(1 + cos x) – 2 + 2cos²x
- Tiếp tục: f'(x) = 2cos x + 2cos²x – 2 + 2cos²x = 2cos x + 4cos²x – 2
- Giải f'(x) = 0: 2cos x + 4cos²x – 2 = 0
- Đặt t = cos x: 2t + 4t² – 2 = 0 ⟹ 4t² + 2t – 2 = 0
- Giải: t = (-2 ± √(4 + 32))/8 = (-2 ± √36)/8 = (-2 ± 6)/8
- Suy ra: t = 1/2 hoặc t = -1
- Do x ∈ [0, π], nên cos x ∈ [-1, 1], do đó t = 1/2 hoặc t = -1
- Khi t = 1/2: x = π/3 hoặc x = 5π/3 (nhưng 5π/3 nằm ngoài [0, π])
- Khi t = -1: x = π
- Tính giá trị hàm tại các điểm tới hạn và điểm đầu mút:
- f(0) = 2sin 0 + sin 0 = 0
- f(π/3) = 2sin(π/3) + sin(2π/3) = 2(√3/2) + √3/2 = 3√3/2
- f(π) = 2sin π + sin 2π = 0
- So sánh: GTLN = 3√3/2 (tại x = π/3), GTNN = 0 (tại x = 0 hoặc x = π)
