Trong toán học và các lĩnh vực kỹ thuật hiện đại, hệ trục tọa độ trong không gian đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Với ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc nhau, hệ tọa độ này cho phép chúng ta xác định chính xác vị trí các điểm và mô hình hóa các đối tượng ba chiều. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ cấu trúc, nguyên lý hoạt động của hệ trục tọa độ trong không gian, cùng những ứng dụng thực tế đa dạng từ học thuật đến công nghệ.
Định nghĩa hệ trục tọa độ trong không gian oxyz
Vậy, hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz là gì? Hãy hình dung trong không gian ba chiều, chúng ta chọn một điểm O cố định và ba đường thẳng x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O. Hệ thống gồm ba trục này được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trong không gian, hay ngắn gọn là hệ trục tọa độ Oxyz.
Ba trục tọa độ đôi một vuông góc
- Trục Ox: Được gọi là trục hoành.
- Trục Oy: Được gọi là trục tung.
- Trục Oz: Được gọi là trục cao.
Tính chất “đôi một vuông góc” có nghĩa là Ox vuông góc với Oy, Ox vuông góc với Oz, và Oy vuông góc với Oz. Điều này tạo nên một khung tham chiếu vững chắc để xác định vị trí.
Gốc tọa độ o
Điểm O (0, 0, 0) là nơi ba trục tọa độ cắt nhau, được gọi là gốc tọa độ. Đây là điểm tham chiếu gốc cho mọi vị trí trong không gian Oxyz.
Các vector đơn vị
Trên mỗi trục Ox, Oy, Oz, ta lần lượt lấy các vector đơn vị, ký hiệu là i, j, k. Các vector này có đặc điểm:
- Cùng hướng với chiều dương của các trục tương ứng (chiều dương thường được đánh dấu bằng mũi tên).
- Có độ dài bằng 1: |i| = |j| = |k| = 1.
- Đôi một vuông góc với nhau: i ⊥ j, i ⊥ k, j ⊥ k.
Bộ ba vectơ (i, j, k) tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian.
Quy ước bàn tay phải (right-hand rule)
Để xác định chiều của các trục một cách thống nhất, người ta thường dùng quy ước bàn tay phải. Đặt bàn tay phải sao cho ngón cái chỉ theo chiều dương trục Oz, ngón trỏ chỉ theo chiều dương trục Ox, thì ngón giữa sẽ chỉ theo chiều dương trục Oy. Quy ước này đảm bảo tính nhất quán khi thực hiện các phép toán, đặc biệt là tích có hướng của vector.
Các thành phần cơ bản trong hệ trục tọa độ oxyz
Với hệ trục Oxyz đã được thiết lập, chúng ta có thể biểu diễn các đối tượng hình học như điểm, vector, mặt phẳng thông qua các con số cụ thể.
Tọa độ của một điểm
Mỗi điểm M trong không gian Oxyz được xác định duy nhất bởi một bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm M, ký hiệu là M(x, y, z). Các giá trị này có ý nghĩa:
- x (Hoành độ): Tọa độ của hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox.
- y (Tung độ): Tọa độ của hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy.
- z (Cao độ): Tọa độ của hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz.
Tọa độ của một vector
Tương tự điểm, mỗi vector u trong không gian cũng được xác định bởi một bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của vectơ u. Ký hiệu u = (x, y, z) hoặc u(x; y; z).
Tọa độ này tương ứng với biểu diễn vecto u qua các vectơ đơn vị: u = xi + yj + zk.
Nếu có hai điểm A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB), thì tọa độ của vectơ AB được tính bằng:
AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)
Các phép toán cơ bản với tọa độ trong không gian
Việc biểu diễn điểm và vectơ bằng tọa độ cho phép chúng ta thực hiện các phép toán hình học một cách đại số. Cho hai vectơ u = (x1, y1, z1) và v = (x2, y2, z2), và số thực k:
Cộng, trừ hai vectơ
- u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
- u – v = (x1 – x2, y1 – y2, z1 – z2)
Nhân vector với một số thực
- k * u = (k*x1, k*y1, k*z1)
Tính độ dài (module) của vector
Độ dài hay module của vector u, ký hiệu là |u|, được tính bằng công thức:
|u| = √(x1² + y1² + z1²)
Nếu A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB), thì khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài vectơ AB:
AB = |AB| = √((xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)²)
Tính tích vô hướng (dot product) của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ u và v, ký hiệu là u.v, là một số thực được tính bằng:
u.v = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
Ngoài ra, u.v = |u| * |v| * cos(θ), với θ là góc giữa hai vector.
Ứng dụng quan trọng:
- Kiểm tra tính vuông góc: Hai vectơ u và v (khác vectơ không) vuông góc khi và chỉ khi u.v = 0.
- Tính góc giữa hai vector: cos(θ) = (u.v) / (|u| * |v|)
Tính tích có hướng (cross product) của hai vectơ
Tích có hướng của hai vectơ u và v, ký hiệu là [u, v] hoặc u x v, là một vectơ được tính bằng:
[u, v] = (y1*z2 – z1*y2, z1*x2 – x1*z2, x1*y2 – y1*x2)
Đặc điểm và ứng dụng quan trọng:
- Vector tích có hướng [u, v] vuông góc với cả u và v.
- Kiểm tra tính cùng phương: Hai vectơ u và v cùng phương khi và chỉ khi [u, v] = 0 (vector không).
- Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vector: S = |[u, v]|.
- Tính diện tích tam giác ABC: S_ABC = (1/2) * |[AB, AC]|.
- Tính thể tích hình hộp tạo bởi ba vectơ a, b, c (tích hỗn tạp): V = |[a, b] . c|.
- Tính thể tích tứ diện ABCD: V_ABCD = (1/6) * |[AB, AC] . AD|.
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB), thì tọa độ của I là:
I = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2)
Tọa độ trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC với A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC), thì tọa độ của G là:
G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3, (zA + zB + zC)/3)
Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian oxyz
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 là viết phương trình của mặt phẳng và đường thẳng.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Một mặt phẳng (p) trong không gian oxyz hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm M0(x0, y0, z0) thuộc (P) và một vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) (vectơ khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Hoặc viết gọn lại thành:
Ax + By + Cz + D = 0 (với D = -Ax0 – By0 – Cz0)
Trong đó, A, B, C không đồng thời bằng 0 (A² + B² + C² ≠ 0).
Phương trình tham số của đường thẳng
Một đường thẳng (d) trong không gian Oxyz được xác định nếu biết một điểm M0(x0, y0, z0) thuộc (d) và một vectơ chỉ phương u = (a, b, c) (vectơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng).
Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng:
{
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
}
Trong đó, t là tham số (t ∈ ℝ). Mỗi giá trị của t tương ứng với một điểm trên đường thẳng.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu các thành phần a, b, c của vectơ chỉ phương u đều khác 0, ta có thể viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng chính tắc:
(x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c
Lưu ý: Nếu một trong các thành phần a, b, c bằng 0 (ví dụ a = 0), thì phương trình chính tắc sẽ có dạng tương ứng (ví dụ: x = x0 và (y – y0)/b = (z – z0)/c).
