Nắm vững vecto trong không gian: Công thức, ví dụ & bài tập

Vecto trong không gian là một trong những khái niệm toán học quan trọng mà học sinh cần nắm vững để tiến xa trong môn Toán. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu về các công thức quan trọng, cùng nhiều ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết. Hãy cùng khám phá những kiến thức cốt lõi này để nâng cao khả năng giải quyết các bài toán vecto phức tạp.

Khái niệm cơ bản về vecto trong không gian

Vecto trong không gian là đại lượng được xác định bởi cả độ lớn và hướng. Khác với vecto trong mặt phẳng, vecto trong không gian có ba thành phần tọa độ, giúp biểu diễn chính xác vị trí và hướng trong không gian ba chiều.

Định nghĩa và biểu diễn vecto trong không gian

Một vecto trong không gian ba chiều thường được ký hiệu là $\vec{a}$ và có thể biểu diễn bằng ba thành phần:

Biểu diễn theo tọa độ: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ hoặc $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$
Biểu diễn theo hai điểm: Nếu vecto $\vec{AB}$ có điểm đầu A(x₁, y₁, z₁) và điểm cuối B(x₂, y₂, z₂), thì $\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1, z_2 – z_1)$

Độ dài (hay độ lớn) của vecto $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ được tính bằng công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Các phép toán cơ bản với vecto

Khi làm việc với vecto trong không gian, cần nắm vững các phép toán cơ bản sau:

Phép cộng vecto: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$
Phép trừ vecto: $\vec{a} – \vec{b} = (a_x – b_x, a_y – b_y, a_z – b_z)$
Phép nhân vecto với số thực k: $k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)$
Vecto đơn vị: $\vec{a}^0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

Các phép toán này tuân theo các quy tắc tương tự như vecto trong mặt phẳng, nhưng được mở rộng cho trường hợp ba chiều.

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian là một khái niệm cốt lõi trong hình học không gian, cho phép chúng ta tìm hiểu mối quan hệ giữa các vecto và tính toán góc giữa chúng.

Định nghĩa và công thức tính

Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ và $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ được định nghĩa bằng công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z$

Hoặc có thể viết dưới dạng:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$

Trong đó $\alpha$ là góc giữa hai vectơ trong không gian.

Tính chất của tích vô hướng

Tích vô hướng có các tính chất quan trọng sau:

Tính giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
Tính phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
Tích vô hướng với bản thân: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
Hai vecto vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý:

Tính góc giữa hai vectơ trong không gian: $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
Kiểm tra tính vuông góc giữa hai vecto
Tính công trong vật lý: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$
Tìm hình chiếu của vecto này lên vecto khác

Tích có hướng và tích hỗn hợp

Ngoài tích vô hướng, còn có hai loại tích quan trọng khác khi làm việc với vecto trong không gian: tích có hướng (tích vector) và tích hỗn hợp.

Tích có hướng (tích vector)

Tích có hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được ký hiệu là $\vec{a} \times \vec{b}$ và là một vecto mới có:

Độ lớn: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\alpha$, với $\alpha$ là góc giữa hai vecto
Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa $\vec{a}$ và $\vec{b}$
Chiều: theo quy tắc bàn tay phải

Công thức tính tích có hướng theo tọa độ:

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_y \cdot b_z – a_z \cdot b_y, a_z \cdot b_x – a_x \cdot b_z, a_x \cdot b_y – a_y \cdot b_x)$

Hoặc có thể viết dưới dạng định thức:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

Tích hỗn hợp

Tích hỗn hợp của ba vecto $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ được ký hiệu là $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ và được tính bằng công thức:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

Theo tọa độ, tích hỗn hợp có thể được tính bằng định thức:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Ý nghĩa hình học: Giá trị tuyệt đối của tích hỗn hợp bằng thể tích của hình hộp chéo được tạo bởi ba vecto.

Ứng dụng của tích có hướng và tích hỗn hợp

Tính diện tích hình bình hành được tạo bởi hai vecto
Tính thể tích hình hộp chéo được tạo bởi ba vecto
Kiểm tra ba vecto có đồng phẳng hay không
Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

Tổng và hiệu của hai vecto

Tổng và hiệu của hai vectơ là các phép toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong không gian vecto.

Phương pháp tính toán

Cho hai vecto $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ và $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$:

Tổng hai vecto: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$
Hiệu hai vecto: $\vec{a} – \vec{b} = (a_x – b_x, a_y – b_y, a_z – b_z)$

Ý nghĩa hình học

Về mặt hình học:

Tổng hai vecto $\vec{a} + \vec{b}$ là vecto kết quả khi áp dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác
Hiệu hai vecto $\vec{a} – \vec{b}$ là vecto từ đầu mút của $\vec{b}$ đến đầu mút của $\vec{a}$ khi đặt hai vecto cùng gốc

Tính chất của phép cộng và phép trừ vecto

Phép cộng vecto có các tính chất:

Tính giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
Tính kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
Phần tử trung hòa: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
Phần tử đối: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

Góc giữa hai vecto trong không gian

Xác định góc giữa hai vectơ trong không gian là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian và nhiều ứng dụng thực tế.

Công thức tính góc

Góc $\alpha$ giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không bằng không được tính bằng công thức:

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$

Từ đó, góc $\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Các trường hợp đặc biệt

Hai vecto cùng phương, cùng chiều: $\alpha = 0°$, $\cos\alpha = 1$
Hai vecto cùng phương, ngược chiều: $\alpha = 180°$, $\cos\alpha = -1$
Hai vecto vuông góc: $\alpha = 90°$, $\cos\alpha = 0$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai vecto $\vec{a} = (1, 2, 3)$ và $\vec{b} = (4, 5, 6)$.

Lời giải:

Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$

Độ dài vecto $\vec{a}$: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$

Độ dài vecto $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77}$

Góc giữa hai vecto: $\cos\alpha = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} \approx 0.9789$

Vậy $\alpha \approx 11.8°$

Ví dụ 2: Kiểm tra hai vecto $\vec{c} = (2, -1, 3)$ và $\vec{d} = (-4, 2, -6)$ có vuông góc không?